Sonsuzluk kavramı, zihinsel olarak beynimizi kurcalayan ama inanmaya akıl erdiremediğimiz bir olgu. Çünkü insan zihni, bir şeyin sınırlarını belirleme eğiliminde olduğundan bir ifadenin sonsuz olma fikrini benimsemekte zorlanabiliyor.
Bu sonsuzluk kavramı da 1920’lerden itibaren matematikçileri bu konuyu daha anlaşılır bir şekilde açıklamaya yönlendirdi. Bu çabalar arasında en etkili olanı ise Alman Matematikçi David Hilbert’in “Sonsuz Otel Paradoksu” oldu.
Şimdi bir otel hayal edin. Bu otelin sonsuz tane odası olsun. “Böyle bir şey mümkün değil!” demeden önce biraz daha düşünmenizi istiyoruz. Üstelik bu sonsuz odaların her biri de dolu. Şimdi daha karışık geldiğinin farkındayız, daha ayrıntılı bir şekilde ele alınca eminiz ki kafanızda oturacak.
Bir kişi, her odası dolu otelden boş bir oda talep ettiğinde ne olur?
Yeni gelen bir konuğa yapılabilecek şeyi düşündüğümüzde cevap çoğunuzun öngördüğü gibi olacak. Fakat bu otelin mantığı biraz daha farklı.
Otel odalarında her misafirin, kendi numarasının bir üstündeki odaya taşınabilme olasılığı var. Yani, 1 numaralı odadaki misafir 2 numaralı odaya taşınırsa 1 numaralı oda boş kalacak ve yeni konuğa yer açılacak.
Peki soruyu biraz daha karmaşıklaştıralım, içinde 40 yolcu bulunan bir otobüs bu otele gelirse nasıl yer ayarlanır?
Pratikte 1 numaralı odadaki konuktan 2 numaralı odaya geçmesi rica edilir, ardından 2 numaralı odadakinden 3 numaralı odaya ve durum bu şekilde devam eder.
Otelde sonsuz sayıda oda olduğu için her konuk için yeni bir oda bulmak mümkündür. Böyle süren bir döngüde yeni gelen konuk için 1 numaralı oda boşalmış olur.
Aslında mantık yine aynı.
Ancak bu sefer misafirler, kendi odalarının 40 numara üstüne taşınmalıdır. Yani 1 numaralı odadaki misafir 41 numaralı odaya taşınırsa 2 numaralı odadaki misafir 42 numaralı odaya geçmelidir.
Bu şekilde ilk 40 oda boşalacaktır. Durumu iyice karmaşık hâle getirelim mi?
Otobüsü hayal etmiştik, şimdi de “sonsuz” yolcu sayısı olan bir otobüsle karşılaşılırsa durum nasıl olacak?
Bu sefer de yeni gelenlerin sayısı belirsiz olduğundan ve iç içe geçmiş bir sonsuzluk durumu söz konusu olduğundan şu çözüm bulunuyor: Her misafiri, oda numarasının iki katı olan bir odaya yerleştirmek.
Yani 1 numaralı misafir 2 numaralı odaya, 4 numaralı misafir 8 numaralı odaya ve böyle devam ederek. Bu şekilde, sonsuzluğun içindeki başka bir sonsuzluğa yer açılmış oluyor.
Böylece oteldeki çift sayılı odalar dolu olurken tek sayılı odalar boş kalır ve gelen konuklar o odalara yerleşebilir. Otelin kazancı ise bu durumda yine sabit kalmış olur.
Mantığı bir kez daha zorlarsak otelin önüne yolcusu sonsuz sayıda olan otobüslerden sonsuz tane gelse ve otelde konaklamak istese yine yer ayarlanabilir mi?
Başlangıçta düşündüğümüz gibi cevap hayır olacak. Çünkü mantıken sonsuz olan bir şeyin içine sonsuz ekleyemeyiz gibi görünüyor.
Ancak oteldekiler, bu duruma “Matematikte sonsuz sayıda asal sayı vardır.” mantığıyla çözüm buluyor. Peki, bu kuralı bu tür bir problemin içinde nasıl uyguluyorlar?
Aslında yeni konukları otele yerleştirmeden önce içeride biraz değişiklik yapmaları gerekiyor. Bu değişiklik, asal sayıların en küçüğü 2 olduğundan, otel içindeki bütün müşterileri oda numaralarını 2’nin üssü olacak şekilde yer değiştiriyorlar.
Yani 1 numaralı odadaki müşteri 2¹., 9 numaralı odadaki müşteri 2⁹. odaya taşınıyor. Bu işlemle de otelde boş odalar oluşturuluyor.
Bu otobüslerden birincisindeki yolcuları 3, ikincisindeki 5 şeklinde sırasıyla asal sayı düzenine göre yerleştiriyorlar.
Yani ilk otobüsteki birinci yolcu 3¹, ikinci yolcu 3², … numaralı odalara yerleştiriliyor. Aynı işlemler diğer asal sayılı otobüslere de uygulanarak sonsuza kadar devam ediyor.
Bu şekilde tüm müşteriler otele yerleşiyor ve hiçbir oda numarası birbiriyle çakışmıyor. Çünkü asal sayıların yalnızca 1 ve kendileriyle bölünebilecekleri biliniyor. Hatta otelde boş oda bırakılıyor, 6 veya 12 numaralı odaların asal sayıların üssü olmadığı için boş kaldığı gibi.
Peki asal sayıların kuvvetlerine eşit oda numaralarının daima boş olacağından nasıl eminiz?
Çünkü pozitif her tam sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir şekide yazılabiliyor. Bu durumda da oteldeki bir oda numarası bir asal sayının kuvvetiyse başka asal sayının kuvvetine denk olamaz. Tek asal sayıların hiçbir kuvveti ikiye bölünemez ve bu odalar boş kalır.
Hilbert, bu problem aracılığıyla aslında bize sonsuzluğu anlatmıyor, sonsuzluğu anlamanın ne kadar zor olduğunu ve bu kavramı benimsemek için çeşitli örneklerle doğru yolu gösteriyor.
